Isochronisme d'un pendule simple

Magnifique démonstration de l'isochronisme d'un pendule simple découvert par  Galilée :




@+
JC

Super cette vidéo

Pas compris ce que veut dire isochronisme d'un pendule simple.
La période est fonction de la déviation maximale, et comme le mouvement est amorti (au moins par les forces de frottement dans l'air (quand ce n'est pas la  torsion à l'accroche etc...) la période va varier.

La démonstration vaut pour les petits angles quand on peut faire l'hypothèse de l'approximation harmonique
Et comme il n'y a qu'une seule position pour faire fonctionner un pendule simple ...

Pour aller plus loin on peut se fader la page suivante avec la formule d'approximation
T≃T0(1+θmax*θmax/16)
https://femto-physique.fr/mecanique/periode-pendule-simple.php




Dans le cas où l'approximation harmonique n'est pas établie je n'ai pas eu le courage de vérifier les calculs 

@Hypnos,

L’isochronisme est très bien expliqué dans la vidéo. Le pendule simple est un pendule
théorique dont le fil qui le supporte n’a aucune masse et il n’y a aucun frottement d’où la fameuse formule qui va avec et qui est démontrée dans cette magnifique vidéo. C’est aussi ce que j’ai appris quand j’étais apprenti horloger. J’ai bac – 5, je n’ai pas été poursuivi par les études.  Ce qui ne m’empêche pas d’essayer d’apprendre tous les jours. Internet aujourd’hui facilite les choses. J’ai aussi appris que la réalité est souvent différente de la théorie. Ce que l’on découvre de nos jours dans beaucoup de domaines avec des instruments de mesures de plus en plus fins. Dans la réalité, le centre de gravité d’un balancier pendulaire ne se trouve jamais au centre de la lentille, mais au-dessus, à cause du lien pesant qui le relie à la suspension. Il y a bien sûr aussi le frottement de l’air, la pression atmosphérique, le frottement et l’impulsion de l’échappement etc. qui mettent à mal la belle théorie de l’isochronisme. Mon quotidien est de redonner vie des garde-temps à l’arrêt. Pour déterminer la longueur d’un balancier perdu, je ne m’encombre de la formule consacrée, ne connaissant pas g de l’endroit où sera la pendule et qu’il est quasi impossible de déterminer le centre de gravité d’un balancier pendulaire, sauf à chronométrer sa période et le déterminer par le calcul (à condition de connaître précisément g). Petit horloger de campagne malin, j’utilise la formule L = T². L en mètre T = durée d’une alternance (en horlogerie on calcule toujours en alternance/heure). Cela me permet de déterminer grossièrement la longueur d’un balancier perdu. Avec mon tableur j’affine en quelques jours le réglage. J’ai un grande admiration pour des personnes extraordinaires comme Galilée, Christiaan Huygens et beaucoup d’autres qui ont contribué à faire évoluer la mesure du temps. Désolé, je persiste à penser que la vidéo que j’ai partagée est géniale !
Les élèves de ce professeur ont beaucoup de chance.
@+
JC

La variation de la période est valable aussi pour un pendule simple sans frottements. Le "problème" vient de l'approximation harmonique qu'on a le "droit" de faire quand les amplitudes sont faibles. Avec 5° on a une erreur de 1/2 millième

Merci Torzio de nous avoir fait découvrir cette vidéo, je la trouve géniale moi aussi.

Hypnos a écrit:

La variation de la période est valable aussi pour un pendule simple sans frottements. Le "problème" vient de l'approximation harmonique qu'on a le "droit" de faire quand les amplitudes sont faibles. Avec 5° on a une erreur de 1/2 millième

@Hypnos,

Si l'erreur du a "l'approximation harmonique" est de 1/2 1000, alors " il n'y a pas le feu au lac " comme disent les suisses ! Cela fait un écart de moins d'une minute/jour pour le calcul d'un balancier perdu. Donc inutile de se prendre la tête avec ça, sauf à vouloir se masturber le neurone !

En tous cas, vous m'avez mis en face de la réalité. Je me rends compte à quel point mon savoir n'est qu'une petite goute d'eau face à un océan de connaissances !

Hier au soir, j'ai essayé de m'endormir moins idiot et, sur ma tablette, j'ai chercher à comprendre "l'approximation harmonique". Je suis tombé sur cette vidéo :



J'ai fait un gros effort pour regarder jusqu'au bout, mais curieusement le sommeil m'a gagné plus tôt que d'habitude.

Si vous pouviez nous expliquer très simplement ce dont il s'agit, je pense que nous serions nombreux à vous en être reconnaissant. Merci d'avance.

@+
JC

Cela fait 4 heures que je me suis lever, et j’ai pris un Aspégic car c’était trop pédagogique cette démonstration.

Torzio a écrit:

Si vous pouviez nous expliquer très simplement ce dont il s'agit, je pense que nous serions nombreux à vous en être reconnaissant. Merci d'avance.

Dit rapidement on peut résumer ça comme ça:
Pour calculer la période du pendule on pose le problème, comme n'importe quel problème de mécanique dynamique (pas au repos), en faisant le bilan des forces (vecteurs) qui s'exercent sur le pendule.

On tombe alors sur une équation différentielle (qui dépend des position, vitesse et accélération angulaire à un instant T).
Malheureusement on ne sait pas résoudre de façon formelle (exacte) cette équation différentielle  dans le cas général. On sait résoudre si, à la place d'un sinus(alpha(T)) on avait un alpha(T) dans l'équation -  alpha(T) c'est l'angle que fait la ficelle du pendule en fonction du temps T.

Les mathématiques (développements limités) nous disent que alpha et sin(alpha) sont presque égaux pour les petits angles, et elle nous disent en plus quelle est l'erreur qu'on commet si on confond les deux.

L'approximation harmonique dit simplement ça, qu'on ne se trompe pas trop en confondant les deux.

Il existe aussi des approximations différentes si on veut plus de précisions dans le calcul du mouvement. Mais la résolution de l'équation différentielle devient alors plus ardue (eh oui! on n'a rien sans rien )

Je ne sais si j'ai été clair mais les développement plus complets sont à trouver sur Wikipedia
https://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_simple


PS: @caput il faut aussi deux ibuprofène pour mes explications ?

Vidéo sympa en effet que cette présentation de Walter Lewin.
Je l'avais vue il y a quelques années et cette manière ludique de présenter la science est excellente pour de la vulgarisation.

Bien sûr, comme le souligne Hypnos, cette équation est "fausse". Mais elle constitue une approximation suffisante pour beaucoup d'applications pratiques.
Il est vrai que le caractère incomplet de l'équation est mentionné un peu trop brièvement peut-être (à 2min dans la vidéo Lewin dit : "period is independant of amplitude if you dont go to extreme values of the amplitude").

La théorie de l'isochronisme du pendule simple qui avait été supposée par Gallilée à rapidement été infirmée par Huygens qui a démontré que pour atteindre l'isochronisme, le centre de gravité ne devait pas parcourir un arc de cercle main une portion de cycloïde. Il a par ailleurs indiqué un ingénieux  moyen d'application pour les horloges. Cette courte vidéo résume assez bien la chose :


Des horloges sur le modèle de huygens ont été construites mais on a rapidement abandonné la courbe cycloïdale pour le pendule car l'intérêt pratique était nul (l'erreur corrigée était négligeable). Je n'ai pas connaissance que les "joues" de Huygens aient été réutilisées plus tard sur des pendules de précision.

Hypnos a écrit:

PS: @caput il faut aussi deux ibuprofène pour mes explications ?

Merci pour le conseil   .
Je vais demander à ma belle-mère  qui est pharmacien car docteur en pharmacie ! et non pas  pharmacienne  sinon elle va m’engueuler.

caput a écrit:

Merci pour le conseil   .

Ce n'était pas un conseil mais une question, juste pour savoir si j'avais été un peu clair dans mon résumé

La vidéo de Saturne est très intéressante.
Je pense que l'on peut dire qu'à l'époque de Huygens l'échappement régulièrement et certainement le seul utilisé était l'échappement à roue de rencontre. Echappement d'un très mauvais rendement et très sensible aux variations de force  C'est pour cela que les montres à coq ont une fusée. Même si la force motrice des pendules de l'époque est issu de poids, il n'en reste pas moins que l'exécution des rouages était manuelle et donc pas parfaitement régulière. Ce qui avait pour effet de faire varier l'énergie envoyée à la roue de rencontre et donc l'amplitude du balancier. Ensuite on a inventé des échappements sans recul, Graham, chevilles, Brocot etc. Avec une meilleure exécution des rouages, cela a considérablement augmenté la précision. Il faut aussi tenir compte de l'échappement qui perturbe considérablement l'isochronisme du balancier.
Petite question, quelle est la meilleure et plus simple méthode pour l'horloger rhabilleur pour calculer simplement un balancier perdu. 
@+
JC

A voir également cette conférence « De l’horloge de Huygens à l’équation de Schrödinger un monde d’oscillations » ICI
Je décroche sur la partie purement mathématique, mais cela est très intéressant.

caput a écrit:

A voir également cette conférence « De l’horloge de Huygens à l’équation de Schrödinger un monde d’oscillations » ICI

La chaîne Youtube est une véritable mine de conférences sur les maths. Je vais m'en régaler dans les mois qui viennent pour me reposer du jardinage
Merci du lien

Je viens de revisionner la vidéo de Saturne. Il me semble qu'il y a une erreur à 2:01. L'auteur prétend que lorsque l'amplitude augmente, la période augmente. Or, il me semble que c'est l'inverse et que les joues ont pour mission de raccourcir la longueur active du balancier et donc d'augmenter la période. Me trompe-je ?

Concernant la vidéo de Caput, on retrouve le même auteur qui dit a peu près la même chose. Toutefois j'ai arrêté à 22:17 car le gars commence à demander des sous !

@+
JC

Torzio a écrit:

L'auteur prétend que lorsque l'amplitude augmente, la période augmente. Or, il me semble que c'est l'inverse et que les joues ont pour mission de raccourcir la longueur active du balancier et donc d'augmenter la période. Me trompe-je ?

La période augmente bien quand l'amplitude augments. La correction apportée par les joues (plus l'angle est grand et plus le balancier est raccourci) fait bien que la période, agrandie par l'amplitude dans le cas d'une oscillation libre, est concomitamment réduite par les jours.

Sinon l'article de Wikipedia pour la résolution du pendule simple donne, pour une meilleure approximation de l'angle en fonction du temps, la formule de Borda:




période croissante en fonction de l'angle max.

Il me semble avoir vu passer aussi dans les montres, en chronométrie, un dispositif qui permet de garder la même longueur de spiral active lorsque celui-ci passe d'un côté à l'autre de la clé de raquette. Mais peut-être me trompé-je

@Hypnos,

Pour moi, lorsque la période augmente, cela veut dire qu'il y a + d'oscillations dans une heure. 
Par exemple, un balancier qui bat la seconde va faire 1800 oscillations en 1 heure, si sa période augmente il va en faire +.

Est-ce bien cela ?

@+
JC

Non le nombre d'oscillations est égal à la durée (3600s par exemple) divisé par durée d'une oscillation (1s). Ou la durée divisée par la demi-période (pour moi une oscillation c'est un tic ou un tac, la période c'est un aller-retour - mais ce n'est peut-être pas la définition pour un horloger).
Si la période augmente le nombre d'oscillations diminue par unité de temps (on peut caser moins de période dans le même temps)

très pédagogue le monsieur !

et parfois un seul prof avc un tel charisme dans une scolarité peut tout changer
ds le devenir d'un élève

Hypnos a écrit:

Non le nombre d'oscillations est égal à la durée (3600s par exemple) divisé par durée d'une oscillation (1s). Ou la durée divisée par la demi-période (pour moi une oscillation c'est un tic ou un tac, la période c'est un aller-retour - mais ce n'est peut-être pas la définition pour un horloger).
Si la période augmente le nombre d'oscillations diminue par unité de temps (on peut caser moins de période dans le même temps)

Ok, vous avez raison, période = espace temps. J'ai l'habitude de raisonner en alternances par heure.
Comme quoi il faut faire travailler son neurone plus longtemps pour éviter de sortir des conneries ! 
Je bats ma coulpe !

@+
JC

Torzio a écrit:

Je bats ma coulpe !

Felix culpa . Il n'y a pas de faute.
On est tellement marqué par notre système d'enseignement qui ne pointe que des fautes quand il n'y a au pire que des erreurs.

Je reprends ce fil pour une question subsidiaire, si j'ai bien compris la fréquence est indépendante du poids du pendule (balancier pour ma comtoise), ceci dans une fourchette sans les extrêmes. Mais alors comment déterminer le poids idéal du balancier, il devrait être suffisamment lourd pour que la résistance de l'air n'aie pas trop d'influence sur l'amplitude et pas trop lourd car demandant (?) plus d’énergie produite par l'ensemble moteur (poids qui anime le rouage et efficacité de l’échappement, dans ce cas à verge).
J'ai le cas d'une comtoise avec deux possibilité de balancier, l'un qui est venu avec l'horloge a une lentille avec du lest, celle-ci pèse plus de 320 gr. Comme alternative, j'ai un balancier avec une lentille standard de 16cm de diamètre qui pèse 160gr.
Le mouvement semble fonctionner correctement tant avec l'un qu'avec l'autre. Lequel de ces deux balanciers faudrait-il privilégier et pourquoi? Intuitivement j'ai l'impression que l'usure serait proportionnelle au poids du balancier, donc le balancier version légère serait préférable?
Merci de commenter...

Pour les comtoises que je fais fonctionner chez-moi j'ai clairement fait le choix de la version légère, qui me permet de réduire le poids moteur. Les forces exercées sur les éléments du mouvement sont moindres donc il y a moins d'usure.
Dans le clocher de notre église le balancier pèse 20 kg. Depuis que le clocher n'est plus ouvert à tout vent, il ne faudrait plus un tel balancier. J'ai fait des essais pour réduire le poids moteur. Celui-ci est composé de plusieurs éléments en fonte et c'était facile d'en retirer jusqu'à ce que le balancier s'arrête et de remettre juste ce qu'il faut pour le garder en mouvement.